Сокращение до инициала допустимо, но не является общепринятым.
Не нужны.
Не только сократилось, но и дополнилось разговорным (и уменьшительным) суффиксом -ик.
В этом случае верно без кавычек: Мы не прощаемся, а говорим: до свидания!
Возможны два варианта: Дом моды Chanel и Дом моды "Шанель".