Написание гласной о здесь проверяемо, оно подчиняется морфологическому принципу русской орфографии. Слово шутовство образовано от шут при помощи суффикса -овств- — нерегулярной словообразовательной единицы, образующей имена существительные, которые обозначают явление, характеризующееся признаком, названным мотивирующим словом. В редких случаях этот суффикс ударен: женихо́вство, толсто́вство.

Вы совершенно правы в том, что названные термины должны писаться одинаково, поскольку они семантически и структурно однотипны. Непонятно, на основании каких статистических данных сделан вывод о том, что второй термин чаще пишется через дефис. К сожалению, в Национальном корпусе русского языка они не встречаются, а Яндекс в подборке регулярно (хотя и не без исключений) выдает слитное написание для обоих. Такое написание и следует для них порекомендовать.

Наречное сочетание рано или поздно, имеющее значение «если не сейчас, то позже, в один из моментов существования кого-чего-л. (о действии, к-рое обязательно должно совершиться)», не нуждается в обособлении; наречие всегда, указывающее на то, что «явление, действие, состояние и т. п. не имеют ни начала, ни конца, находятся вне времени», в таком контексте выглядит неуместным: Но, как известно, тайное рано или поздно становится явным.

В журнальной статье, опубликованной в 1970 году, читаем: «Жарким факелом полыхнул бензобак». Другая цитата из текста, написанного примерно в это же время: «...и сквозь облака над морем полыхнет закат!» [К. Серафимов. Экспедиция во мрак (1978–1996)]. Может полыхнуть надежда и полыхнуть заболевание. Словом, в речи глагол полыхнуть встречается в сочетаниях с весьма широким списком слов, среди них — наименования предметов и сооружений, охваченных огнем. Движение глагола с таким «ярким» значением к сочетаемостному разнообразию уже усматривается в безличном употреблении, отмеченном в толковых словарях (полыхнуло в семь часов вечера по такому-то адресу).

Мы не выполняем домашние задания.

Мужская фамилия склоняется: Ступанс, Ступанса, Ступансу, Ступансом, о Ступансе.

Правильно: в «Песни о Роланде».

Верно раздельное написание частицы и слитное написание глагола: ...он двоих таки недосчитался.

Русский орфографический словарь:

таки — частица, пишется через дефис с предшествующим глаголом (верну́лся-таки), наречием (дово́льно-таки, пря́мо-таки) и в словах всё-таки, та́к-таки; в остальных случаях — раздельно (о́н таки прие́дет)

недосчита́ться, -а́юсь, -а́ется (обнаружить при подсчете недостачу)

В подобного рода названиях слово имени (им.) пишется со строчной буквы (см. правила): Поезд прибыл на станцию имени Максима Горького.

Действительно, словосочетания сердце погоста и шапка кудрей устроены сходным образом: в обоих главный компонент — слово, употребленное в переносном значении. Однако вопрос, который Вы задаёте, следует адресовать автору учебника — Л. В. Балашовой: ведь это она утверждает, что перед нами неделимое словосочетание.

Следует иметь в виду еще одну вещь: нельзя думать, будто в лингвистике существуют общепринятые (то есть принимаемые большинством лингвистов) решения на все случаи жизни. В огромном количестве случаев мнения лингвистов об одних и тех же явлениях расходятся. Квалификация методистов поэтому должна оцениваться в первую очередь по тому, умеют ли они отличать спорные явления от бесспорных, чтобы не включать всё то, что оценивается лингвистами по-разному, в учебные и контрольные задания.