Такая фраза грешит явной разговорностью. 

Нормативными словарями современного русского литературного языка глагол встрекотать не зафиксирован, однако с грамматической точки зрения он вполне корректен и изредка встречается в художественных текстах, например: Встрекотал кузнечик звонкий; / Ветка хрустнула сухая, / Любопытный олененок / На поляну робко вышел (Сергей Клычков. Мадур-Ваза победитель. 1966). 

Полагаем, упомянутое правило здесь применимо и деепричастный оборот обособлять не нужно: глагол провести в значении 'пробыть, прожить какое-л. время где-л. или каким-л. образом' информативно недостаточен. 

Пунктуация в предложении Сами выбирайте (,) на что вариативна. Общее правило гласит, что если придаточная часть состоит из одного союзного слова, то запятая перед ним не ставится: Кредитная карта 100 дней без процентов. Сами выбирайте на что. Вместе с тем, как указано в параграфе 33.4 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя, в условиях контекста возможна постановка запятой и перед одиночным союзным словом, если оно логически выделено: Кредитная карта 100 дней без процентов. Сами выбирайте, на что. Если местоимение мыслится как произносимое с вопросительной интонацией, перед ним ставится тире: Кредитная карта 100 дней без процентов. Сами выбирайте — на что? (см. указанный параграф).​​​​​​​

Глаголы совершенного вида, к которым относится и изгнать, не имеют форм настоящего времени.

В значении 'находиться в рабочем состоянии' по отношению к часам используются оба глагола: идти и ходить. Поэтому оба сочетания возможны. Есть небольшой нюанс: глагол ходить обычно используется, если речь идет о приспособлениях и механизмах, основанных на движении вперёд — назад или вверх — вниз. Поэтому сказать о настенных часах с маятником часы перестали ходить более естественно, чем, например, об электронных часах, встроенных в какой-либо прибор.

С исторической точки зрения все эти слова действительно однокоренные. Они восходят к праславянскому *lǫс- , откуда глагол *lǫčiti, первонач., вероятно, "гнуть, связывать", в сложениях с приставками оtъ (см. отлучить), *оrz (разлучить) получил знач. "разделять". 

Корректно: Они верят, что Прекрасная Россия Будущего непременно появится/возникнет. 

В этом случае используется глагол спадать или его видовая пара спасть (см. значение 2 глагола спасть в «Большом толковом словаре»): мороз спадает (спадет), морозы спадают (спадут).

Корректно: Так незаметно пролетел час или два. При прямом порядке слов (сказуемое следует за однородными подлежащими) обычно употребляется форма множественного числа сказуемого, при обратном порядке (сказуемое предшествует подлежащим) – форма единственного числа.