Правильно: Я гуляю по Луне. Слово Луна употреблено как название космического объекта.
Правильно: обжаловать где-либо: обжаловать в Арбитражном суде.
Правильно: обжаловать в суде, обжалование в суде.
Верно: И чем же закончилась ваша переписка? Я ответила: «Ничем, ясное дело».
Правильно: Матери знают, в чем нуждаются их дети, еще до того, как дети начнут думать об этой нужде.
Запятую ставить не надо.
В восклицательном предложении нужна частица не: На чём только не летали к Луне, Солнцу и звёздам герои сказок, легенд и фантастических романов!
Правильно: обжаловать в суде.