Если речь идет о географическом названии (пусть и вымышленном), верно: остров Невезения (по общему правилу). Как название песни – «Остров Невезения».
А вот если какая-нибудь территория будет образно названа Островом невезения, верным будет именно такое написание (в образных названиях с прописной буквы пишется первое слово), ср.: Остров свободы (о Кубе).
Правильно: Васильевский остров.
Правильно: остров Короля Георга.
Толковые словари фиксируют устойчивое выражение читать между строк, означающее 'догадываться о скрытом смысле написанного'.
Правильно: СТО [эстэо], нескл., ж. (сокр.: станция технического обслуживания).
Кавычки нужны: отдел «Остров детства».
Предпочтительно: Остров, которого не видят туристы.