Корректно: эмир бухарский, эмир Бухарского эмирата.
Знаки препинания расставлены верно. Запятая перед что ставится, так как это сложноподчиненное предложение.
Придаточную часть нужно выделить запятыми, правилен второй вариант.
Следует писать с дефисом и с маленькой буквы: инстаграм-эфир.