Корректно без кавычек: Красная книга России.
Оба варианта правильны.
Это существительное женского рода.
Правильно: при поддержке фонда, при поддержке института.
Прилагательное, образованное от сочетания числительного с существительным, пишется слитно: шестисотстраничный, пятипроцентный, девятиметровый.
Верен второй вариант.
Оба предложения – двусоставные, с подлежащим и сказуемым.