1. Правильно со строчной: летние (зимние) Олимпийские игры. 2. Корректно: Параолимпийские игры. Подробнее см. здесь.
Кавычки не нужны.
См. ответ на вопрос № 259386.
См. ответ на вопрос № 259386.
Номера Олимпийских игр традиционно обозначают римскими цифрами, верно: X Олимпийские игры.