Можно написать: желает не верить, не желает верить.

В статье, на которую Вы ссылаетесь, этот факт объяснен: "В декабре 1906 года Распутин подает прошение на высочайшее имя об изменении своей фамилии на Распутин-Новых, ссылаясь на то, что многие его односельчане носят ту же фамилию, из-за чего могут быть недоразумения. Прошение было удовлетворено (Варламов А. Н. [tululu.org/read14005/ Григорий Распутин-Новый]. — М.: Молодая гвардия, 2007. — 851 с. — (ЖЗЛ). — ISBN 978-5-235-02956-9). 

Следует поставить двоеточие: Я начинаю верить: вернется весна...

Различия существуют. Вы можете выяснить это при помощи электронных словарей в рубрике "Искать на Грамоте" на нашем портале.

Правильно: мерить одежду, мерить что-то по длине. Обратите внимание на написание слова длина.

Запятая нужна: Она не знала, верить ему или нет. 

Запятая не требуется.

Вместо дефиса здесь следует поставить тире.

Причина в том, что это бессоюзное предложение, причем его вторая часть по содержанию противопоставляется первой.

Это сложноподчиненное предложение. Главное предложение: я не знаю. Придаточное предложение: во что верить. Между ними ставится запятая: Я не знаю, во что верить.