Грамматически правилен первый вариант. Но мы полагаем, что на тетради достаточно написать: ученика школы № 878.
Правильно: ГБОУ «Школа...» провело мероприятия. Сказуемое согласуется со словом учреждение. Ср.: кинотеатр «Родина» открылся после ремонта (не открылась).
Название обычно не склоняется, если род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают. Верно: музей, школа села Прасковея.
Можно сказать: школа пополнилась двадцатью учениками.
Лучше: награждается грамотой МАОУ "Зареченская школа".
Если это зарегистрированное название, то ничего поменять не удастся. Если нет, то верно: школа танца джаз-модерн или школа джаз-модерна.
Половая доска - корректное сочетание. Доска пола - также возможно.
Корректно со строчной: 22-я школа воздушных стрелков-радистов.