Кавычки не нужны.
Оба варианта возможны.
Корректно: шашлык на кости.
Верен второй вариант.
Рекомендаций в словарях и справочниках по этому вопросу нам найти не удалось. Но по практике употребления с большим отрывом лидирует предлог на, причем как с полными, так и с сокращенными названиями этих предприятий. Поэтому рекомендуем писать: на Усть-Илимском ЛПК.
Интересно, что, например, с сочетанием животноводческий комплекс (также в значении «предприятие») широко используются оба предлога.
Словарная рекомендация: керамзитовый.
Допускается написание со строчной буквы, в кавычках.