Верно: работает в ГБОУ Школа.
В значении 'пройти какой-либо курс обучения, завершить обучение где-либо' употребляется глагол окончить, а не закончить. Правильно: окончил школу, окончил пятый класс.
Да, запятые ставятся: Во вторник, 3 марта, в школе откроют музей.
Корректно: школа № 1.
Написание в кавычках корректно.
Верно: в кружок ходит 2021 ученик.
Лучше: награждается грамотой МАОУ "Зареченская школа".
В этом случае корректна форма ед. ч.
Предпочтительно: ученика... г. Черновцы. Географические названия в сочетании с родовым словом (здесь – город) обычно не склоняются, если внешняя форма названия соответствует форме множественного числа. Ср.: ученика... г. Киева (название склоняется, т. к. его внешняя форма не связывается с представлением о мн. числе).
Лучше сказать: быть попечителем школы.