Правильно: мерить.
Правильно: верить во что-то.
Употребительно - бросить курить.
Это не однокоренные слова.
Пожалуйста, воспользуйтесь окном «Искать на Грамоте» на портале и «Справочником по фразеологии».
Знаки препинания стоят верно.
Запятая нужна.
Можно написать: желает не верить, не желает верить.
Да, глагол смерить зафиксирован в словарях русского языка с пометой разг. В непринужденной устной речи его употребление возможно.
Следует поставить двоеточие: Я начинаю верить: вернется весна...