Правильно: если вы пишете без ошибок. Личные окончания глагола зависят от спряжения, глагол писать относится к первому спряжению. См. подробнее в учебнике Е. И. Литневской, раздел «Спряжение».

Верно: Александра вместе с Екатериной допустила; Александра и Екатерина (с Екатериной) допустили.

Употребляется второй вариант.

В определенных случаях это предложение может считаться корректным. Точный ответ можно дать, только зная контекст.

Запятая ставится.

Оба варианта корректны. "Принесли" - если роли были распределены равномерно. "Принесла" - если Таня несла, а Надя помогала.

Правильно: блюда русской и европейской кухни.

Мужскую фамилию Пушок надо склонять, женская фамилия не склоняется. Возможно склонение мужской фамилии с выпадением гласного (Пушка, Пушку) и без выпадения гласного (Пушока, Пушоку). Второй вариант предпочтителен, но окончательное решение – за носителем фамилии.