Да, названия музыкальных групп при написании кириллицей выделяются кавычками.
Верно: осуществляя руководство постоянно действующей группой.
Обычно употребляется: со всех уголков страны.
Сочетание страны мира корректно, никакой избыточности в нем нет. Ср.: страны Европы, страны Азии, страны Ближнего Востока...
Лучше: руководитель группы.
Правильно: страны Бенилюкса.
Представляется, что здесь уместны кавычки: страны «оси» (раз города не указываются, роль конкретизатора возьмут на себя кавычки, они помогут обратить внимание читателя на это слово, подскажут читателю, что здесь имеется в виду какая-то особая «ось»).