Без слова театр здесь не обойтись. Корректно: актер работает в Театре на Таганке. 

Оба варианта верны.

Это разговорное слово нужно заключать в кавычки, если необходимо подчеркнуть его стилистическую чуждость контексту, в который оно помещено. Также кавычки могут показать читателю, что это слово не из лексикона автора, что это заимствование из чужой (например, детской) речи. Ср.:

Побегать с друзьями, посмотреть телевизор, а домашка ― дело десятое, ― рассказывал в 2000 году его отец, Андрей Мстиславович.

В идеале, ученик должен понимать, по какой схеме будет выполняться «домашка», чтобы не тратить время на выяснение принципа подготовки к следующему уроку.

Мужская фамилия Василюк склоняется (Василюка, Василюку и т. д.), женская – нет.

Как правило, используется именно тот вариант, который Вы привели: Йоулупукки.

Запятая нужна. Она разделяет слово единственный и относящееся к нему придаточное предложение.

Здесь верно: в тетрадке.

Верно: Производитель ООО "Ромашка" выполнил...

Обратите внимание, что в предложении использованы однокоренные слова (производитель и производственное). По возможности фразу следует перестроить.