Написание в кавычках с прописной уместно в том случае, если название используется как торговое (на ценнике, в меню и т. д.): салат «Селедка под шубой». При передаче на письме бытовой речи правильно строчными без кавычек: какой Новый год без селедки под шубой!
Запятая не нужна. О пунктуационном оформлении конструкций со словом виват см. в «Справочнике по пунктуации».
Корректно использовать форму ед. числа.
См. вопрос 275224.
Возможен и вариант с инфинитивом: давай писать друг другу. Обе конструкции не противоречат грамматическим нормам.