Корректно: на классном часе (во время классного часа).
Правильно: в этот час (в значении "в это время") и в течение этого часа.
Лучше использовать кавычки разного рисунка. Предпочтительно: Некоммерческая организация «ПИК "Строим вместе"». Допустимо: Некоммерческая организация "ПИК "Строим вместе".
Можно сказать: читал книгу и пил чай.
Да, пиков – правильная форма родительного падежа мн. числа слова пик (вершина горы; наивысший подъем в чём-либо). От слова пики (карточная масть) образуется форма родительного падежа пик.
Верен первый вариант.
Верно написание без кавычек.
Правильно: во втором часу.