Устойчивый оборот: тише воды ниже травы.
Тире не требуется.
Домой – наречие. Наречия не изменяются по падежам.
Согласно словарям, слово змей во всех значениях - одушевленное существительное. Учительница в данном случае ошибается.
Лучше: по г. Нальчику, г. Нальчика.
См. ответ на вопрос № 288795.
Оба варианта верны: назвали Валентин и назвали Валентином.
Да, всё так.