Точку следует поставить после скобки, чтобы завершить предложение в целом.
Верно: На вопрос: «Какие трудности испытывал секретарь комсомольской организации в то время?» – Альбина Ивановна задумалась и дала совершенно неожиданный ответ.
Вы написали правильно (нужны кавычки и прописная).