Может быть, написать "тренер"?
Это неустоявшееся выражение. Более того, это выражение лексически избыточное.
Слово идти многозначно, и одно из значений очень широкое – 'двигаться, перемещаться в пространстве' (примеры из словаря: Поезд идёт. Баржа идёт по реке. Идти под парусом. Груз идёт морем. Идти на вёслах). Поэтому приведенная Вами фраза не ошибочна.
Запятая после князем нужна.
Такая замена некорректна: ходящий - причастие, ходячий - прилагательное.
Это сочетание по-прежнему корректно в разговорной речи, в ситуации непринужденного общения. В образцовой литературной речи его рекомендуют избегать.