Тритикале – существительное женского рода.

Хотя слово демократия и означает в буквальном переводе с греческого «власть народа», сочетание народная демократия стало устойчивым, закрепилось в языке советской эпохи для обозначения политической организации общества в государствах Центральной и Восточной Европы во второй половине XX века (страны народной демократии). Сочетание это корректно, оно не нарушает нормы языка.

Кавычки нужны.

Это наречие, оно не имеет категории падежа.

Также это может быть глагол домыть в повелительном наклонении, но глаголы тоже не изменяются по падежам.

Точка не ставится, если прямая речь представляет собой синтаксически самостоятельную конструкцию и начинается с прописной буквы.

Корректно слитное написание, т. к. слово можно заменить синонимом без не: извилистой. Но возможно и раздельное написание, если нужно подчеркнуть отрицание.