Верно: Включить в состав фонда сто тридцать два предмета, зарегистрированные в книге учета.
Фразу нужно перестроить. Она содержит грамматическую ошибку – неправильное употребление деепричастного оборота. Возможный вариант: нужно проверять, не отходя от донора.
Тальянка -- однорядная русская гармоника. Значение слов можно также узнать с помощью окна «Искать на Грамоте» на нашем портале.
Можно написать и так и так, ошибки не будет.
Да, верно: фонд "Новые имена".
Корректно: в государственном учреждении «Управление Пенсионного фонда РФ».
Предлог не нужен, и слово ход здесь лишнее: организует информационное обеспечение реализации мероприятия. Но лучше написать без канцеляризмов и нанизывания родительных падежей: освещает реализацию мероприятия.