Верно: Афины и их окрестности.
Это логично, поскольку слово "подушный" закреплено за исторической реалией - подушной податью.
Образование названия жительницы от слова "ливы" затруднено, ливка - окказионализм.
Не нужно ставить запятую перед открывающей скобкой. В остальном такая пунктуация возможна.
Корректно: все виды ремонта.