Правильно: оказать информационную поддержку конкурсу.
Правильно: Евгении.
Да, предпочтительно именно такое склонение, без выпадения гласного. Допустимо также склонение с выпадением гласного: Апенка, Апенку и т. д. Тип склонения вправе выбрать носитель фамилии.
Д. п. - Мебонии.
Правильно с дательным.