Слитное или раздельное написание этих слов зависит от значения. При слитном написании также имеет значение ‘еще’ или ‘тоже’, например: это необходимо также и мне; она также примет участие в круглом столе. Раздельное написание — так же — имеет значение ‘в той же степени’, ‘таким же образом’, например: мне это необходимо так же, как и вам; ему так же весело, как и тебе; прочитай инструкцию и сделай так же.

Аналогичным образом различаются написания тоже и то же. При слитном написании тоже имеет значение ‘равным образом, в равной мере, также’, например: он устал, я тоже; она тоже примет участие в круглом столе. Раздельное написание — ​​​​​​​то же — имеет значение ‘то же самое’, ‘такое же’, например: она сегодня надела то же платье, что и вчера.

Упражнение на закрепление этого правила можно найти в ​​​​​​​«Учебнике Грамоты».

Слитно пишется только союз со значением цели чтобы. Местоимение с частицей пишется раздельно: что бы ни случилось, что бы это значило.

В парах дверями – дверьми, лошадями – лошадьми, дочерями – дочерьми возможны оба варианта, причем более употребительно окончание -(ь)ми. 

Корректно: В девяти случаях проведено административное расследование.

Всегда верно: положить, класть.

Сочетание заключить проект некорректно. Заключить можно договор, соглашение, а проект — согласовать.