Мужская фамилия Бурлака склоняется как существительное: Бурлаки, Бурлаке, Бурлаку и т. д.
Кавычки не нужны.
В таком случае следует предпочесть согласование по женскому роду.
Эту фамилию нужно склонять.
Мы не выполняем домашние задания.
Названия жительницы Ирака в русском языке нет, следует использовать описательный оборот: жительница Ирака.
Выбор предлога зависит от того, как именно упала стрела. Если она погрузилась в трясину (представим, что из болота торчит только кончик стрелы), тогда: упала в болото. Если же стрела аккуратно легла на какую-то кочку на поверхности болота и там осталась, тогда: на болото.