Да, это родственные слова.
Оба варианта правильные. Какой из них выбрать, решает автор текста.
Можно посмотреть здесь.
Оба варианта грамотны.
Да, можно, при этом кавычки не нужны. Однако контекст Участники опроса проголосовали за такой-то вариант предполагает двойственную интерпретацию: проголосовали = провели голосование или проголосовали = подали голос за такой-то вариант.