Правильно: броситься в направлении (п. п.) удара. Это сочетание с предложным значением.
Запятая не нужна: относиться к вещи как к своей собственной. Запятая не ставится, т. к. сказуемое не имеет смысла без оборота с как (не имеет смысла сочетание относиться к вещи).
Это глагольные словосочетания.
Да, написание в кавычках со строчной корректно во всех случаях.
Запретов на этот счет нет.
Верно: Стала относиться к себе по-другому.
Носится (витает) в воздухе – так говорят о какой-либо идее или о каком-либо событии, которое заранее чувствуется, предугадывается, назревает.
Это выражение не маркировано как официально-деловое.