Эти сочетания не требуют кавычек.
Учет сотрудниками и учет сотрудников - различающиеся по смыслу варианты.
Запятая не нужна.
Нужно склонять только мужскую фамилию Нечай: р. п. - Нечая, д. п. - Нечаю и т. д.
Оба варианта правильные. Одннако в современном литературном языке в количественном (партитивном) значении род. п. в письменной речи преобладает форма на -а (чашка чая, много снега). А вариант с окончанием -у употребляется в основном в разговорной речи (хочу чаю, много снегу).
С термином река склоняются простые русские, славянские и освоенные названия: на реке Неве, на реке Висле (но: на реке Иртыш – географические названия обычно не склоняются, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают).