Если имеется в виду название округа, то корректно с прописной и в кавычках: городской округ «Город Уфа».
В названиях городских округов закреплен именно такой порядок слов – городской округ такой-то. Это связано с необходимостью унифицировать наименования, ср.: городской округ Долгопрудный, городской округ Домодедово, городской округ город Дзержинск, но при этом: Сибирский федеральный округ, Нижегородская область.
Верно: работает в округе.
Дефис пишется в слове Ханты-Мансийский. Между словами округ и Югра ставится тире (разумеется, с пробелами). Правильно: Ханты-Мансийский автономный округ – Югра.
Корректно: Ханты-Мансийский автономный округ – Югра.
Корректно: в городском округе Люберцы.
Правильно: городского округа Реутов.
Обе аббревиатуры корректны.