Мужская фамилия склоняется (Баренбойма, Баренбойму и т. д.), женская – нет.
Оба варианта корректны.
Прописная буква не требуется как при единственном, так и при множественном числе сочетания почетная грамота.
Существуют оба слова:
татарстанский (от Татарстан)
татарский (к татары и Татария)
Предпочтительно склонять фамилию тренера без выпадения гласной: нет Знарока, к Знароку и т. д.
Так сказать можно.