Об этимологии имен можно узнать в «Словаре русских имен» на нашем портале.
См. ответ на вопрос № 274479.
В значении 'вид стилизованного национального танца в отличие от классического и салонного' – харáктерный танец. Воспользуйтесь также ресурсом «Проверка слова».
Корректно: попурри из латиноамериканских, европейских танцев.
Танин - это притяжательное прилагательное от имени Таня.
Словарной фиксации нет. Имеет смысл это малоизвестное название не склонять.
Правильно: Московский государственный ансамбль танца «Русские сезоны».
Как графическое сокращение: доп. тюнинг.