Это синонимы ко всему фразеологическому выражению закинуть удочку, о синонимах к одному только слову закинуть (если мы имеем в виду идиому) говорить бессмысленно: для фразеологизма характерно целостное значение, неразложимость на части. Если же выражение закинуть удочку употребляется в прямом значении, подобрать синоним труда не составляет: забросить.
Оба слова употребляются.
Склоняется только мужская фамилия. Д. п. - Ракутю.
В глаголе толкнуть -ну- — это суффикс со значением однократного действия, он прибавляется целиком при образовании глаголов с соответствующим значением: толкать — толкнуть, стегать — стегнуть, чихать — чихнуть. В некоторых формах глаголов гласная у суффикса -ну- усекается, ср.: толк/н/у, толк/н/ут, толк/н/и. В этих формах суффикс представлен вариантом -н-. Варианты морфем называют морфами. Части слова -ну- и -н- — морфы одной морфемы.
Правильно: кануть в Лету. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Возможны оба варианта.