Втайне — наречие со значением "скрывая от других; тайно". В тайне — существительное с предлогом.
Эти слова выполняют разную синтаксическую роль в предложении.
Запятая не нужна.
Да, мужская фамилия склоняется, а женская нет.
Пунктуация верна, запятая ставится между частями сложного предложения. В конце лучше поставить восклицательный знак.
Лучше использовать первый вариант, так как он однозначен. Второй двусмыслен: организовать доступ (кого?) Кузнецова или к тайне (кого?) Кузнецова.
Возможны оба варианта.
Запятая нужна.