Верно склонение без выпадения гласной: нет Шагола.
Да, мужская фамилия Сагун склоняется: Сагуна, Сагуну и т. д. Женская фамилия Сагун несклоняема.
Тату – несклоняемое существительное среднего рода: такое новое тату.
Это конкретные существительные.
Верно: тащат.
Вероятно, с этим вопросом надо обратиться в администрацию Нижнего Тагила.
Корень тарелк-.
Корректно: полузаконодательное-полуадминистративное учреждение.