В некоторых случаях деепричастие не думая может сближаться по значению с наречием и не обособляться.

Да, это ошибка.

Верно: навстречу успеху.

Дело в том, что в число "названий учебных заведений" входят разные типы наименований. Некоторые из них требуется писать (вернее, начинать) с прописной буквы - например, полные и краткие официальные названия высших учебных заведений: Московский государственный университет. В названиях общеобразовательных школ с прописной буквы пишутся только заключаемые в кавычки элементы условного наименования: средняя школа "Лига школ", школа "Интеллектуал" и т. д.

Нет, следует перестроить фразу, чтобы избежать тавтологии (неоправданного соседства однокоренных слов).

Пропаганда – распространение и углубленное разъяснение каких-л. идей, учения, знаний среди широких масс населения.

Употребление этого слова будет считаться ошибкой. Корректно: близлежащий.

По усмотрению автора текста эти определения могут считаться однородными.

Такое употребление не фиксируется словарями и может формально считаться просторечием, однако "за неимением альтернативы" следует считать сочетания типа лопнуть шарик (в знач. "сделать так, чтобы шарик лопнул") корректными.

См. в "Справочнике по пунктуации".