Правильно: с угрём.
Если речь идет о Конституционном суде РФ, то это название во всех случаях следует писать с прописной (заглавной) буквы.
Правильно: суп харчо. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Аббревиатура НАТО употребляется как существительное мужского и среднего рода.
Правильно: Страшный суд. См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.
Да, этот корень можно отнести к чередующимся. См. ответ на вопрос № 267619.
В значении «срочный» – горящий тур. Кавычки не требуются.