Оба глагола можно использовать.
Оба оборота корректны.
Запятая перед и что не нужна.
Запятая не нужна.
Верно: стартап-проект.
Верен первый вариант.
Мои глаза твоих искать не станут? Такая фраза возможна.
Название должно писаться так: "На старт". Пойдем в "На старт". В разговорной речи, конечно, предлог исчезнет: пойдем в "Старт", пойдем на "Старт".