Верен первый вариант.
Оба варианта верны. Наличие вариантов связано с тем, что у слова хутор два значения: 1) обособленный земельный участок с усадьбой владельца (жить на хуторе) и 2) в южных областях: крестьянский поселок, селение (в хуторе, ср. в поселке, в селении).
Кавычки не требуются.
Кесаревы сечения, кесаревых сечений...
Верная форма: четырьмя.