Запятая ставится: Будучи живыми организмами, деревья улучшают климат, состояние окружающей среды.

На основании предоставленной специалистами службы www.narkonet.ru консультации: «Воздержание (абстиненция) от наркотиков (как состояние организма) неоднозначно. Под этим выражением можно понимать состояние ремиссии - длительное воздержание от употребления наркотического средства без каких-либо выраженных болезненных проявлений - или то, что на жаргоне называется ломка, то есть крайне тягостное и болезненное состояние, возникающее после резкого прекращения употребления некоторых наркотических средств, а особенно наркотиков опийной группы (морфин, героин, кодеин и т. д.). Следует указать, что морфинная абстиненция либо под влиянием лечения, либо самостоятельно проходит в течение 8-15 дней. В Вашем случае, скорее всего, речь идет именно об острой абстиненции, то есть ломке».

Верно: То, как вы заботитесь о своих волосах ежедневно, — от выбора шампуня до самого процесса мытья волос — и определяет их состояние.

Запятые не нужны, слова по сути в данном случае не являются вводными: якобы предоставляя им возможность работы, а по сути переводя их в рабское состояние...

Допустимы оба варианта, более предпочтительным представляется такой вариант: они часто не проверяют состояние креплений. О выборе падежа существительного при отрицании см. «Письмовник».

Оба варианта написания возможны.

Лучше: тестильного рынка.

Правильно: останется в рабочем состоянии. В этом предложении требуется форма предложного падежа: в состоянии. Другой вариант неверен.

Правильно: предынфарктное (но постинфарктное).

Неясно предложение Состояние имен и возрастов патриархов и исторических событий... явно невозможно, может быть, пропущено слово или предложение построено неверно. Поэтому говорить о пунктуации затруднительно.