Фамилия Сорока склоняется (и мужская, и женская).
Сочетания теплая погода, холодная погода корректны, зафиксированы словарями русского языка.
Правильно: У нас хороший директор – Сокова. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Предпочтителен второй вариант.
Второй вариант верен.
В значении 'о женщине' слово чулок в сочетании синий чулок выступает как одушевленное существительное, т. е. винительный падеж совпадает с родительным. Правильно: похожа на синего чулка.