Верно: мечтаю о еще одной собаке.
Правильно: разыскная собака.
Верен первый вариант.
Оба варианта возможны, но предпочтительнее: на свою собаку. Обратите внимание: запятая после слова лечебницу не нужна. Нет оснований для ее постановки.
Словарная рекомендация: «Собака Баскервилей» (роман А. Конан Дойла).