Верно: А если что и заподозрит, скажу, что мама стала настоящей вьетнамкой, потому что долго жила во Вьетнаме.
Правилен первый вариант.
Возможно и единственное, и множественное число сказуемого. Выбор зависит от того, какой смысл вкладывается в сочетание. Варя с медвежатами стали ходить по квартирам: Варя и медвежата – равноправные участники действия. Варя с медвежатами стала ходить по квартирам: основное действующее лицо – Варя, а медвежата – сопутствующие производителю действия лица (морды).