Словом грусть можно проверить только наличие в прилагательном грустный непроизносимого согласного, но нельзя определить, глухой ли это согласный [т] или звонкий [д]. При этом падежные формы существительного (грусти, грустью и т. п.) вполне могут быть проверочными словами.
Принято говорить: произвести впечатление (на кого-либо).
Будьте добры, воспользуйтесь, пожалуйста, материалами словарей нашего портала.
Связь опосредованная: и в том, и в другом слове есть "яблочный" корень (pomme, apple).