Правильно: попрощавшись, слезы спрячу в глубине.
Правильно: запою о счастье.
Верно: переполняло счастье (кого-либо).
Обе запятые нужно поставить.
В разговорной речи такое сочетание возможно.
Тире лишнее. Верно: Печаль или слезы, как правило, следствие потери.
Правильно: о счастье, вариант о счастьи – отклонение от нормы, допустимое, впрочем, в художественной речи. См. также ответ на вопрос № 176838.