Верно: скучать по лицею.
Правильно: служить Отечеству, служить на благо Отечества.
В словах, однокоренных слову бросать, общая часть (корень) – -брос-/-брош-/-бра́с- (ср.: бросить, брошенный, бросивший, выброс, бросок, отбрасывать). Гласная а является суффиксом (еще ее называют тематической гласной), который вместе с и образует видовые пары (например: бросать – бросить, скупать – скупить, выпускать – выпустить).
В словах, однокоренных слову дать, общая часть – -да- (подавший, данный, отдавать, придание (от придать), задание). Гласная а не имеет видового значения. Видовая пара образуется с помощью суффикса -ва-, который прибавляется к корню -да- (давать).
2. Корректны оба варианта.
3. См. http://spravka.gramota.ru/hardwords.html?no=294&_sf=120 [«Непростые слова»].
Местоимение стоит в дательном падеже: скучать (по кому?) по ней.