У несклоняемых иноязычных существительных, оканчивающихся на гласный и обозначающих неодушевленные предметы, часто возникают колебания в родовой принадлежности, т. к. внешний облик слова втягивает их в парадигму среднего рода, а русский синоним или устаревшая форма слова могут подсказывать иное согласование (именно поэтому мы столько спорим о роде слова кофе). Но в данном случае влияние родового слова салат пока сильнее, поэтому в словарях русского языка оливье мужского рода: вкусный оливье.

Литературная норма: помидоров, баклажанов. В разговорной речи допустим вариант баклажан.

Кавычки не нужны.

Можно. Но лучше: Какое масло ты используешь для салата, добавляешь в салат и т. д.

Корректно через дефис: микс-салат и хот-салат.

Возможны оба варианта.

Имя прилагательное в составном сказуемом независимо от типа связки употребляется как в форме именительного, так и в форме творительного падежа.

В "Русском орфографическом словаре" эти названия даются без кавычек, так и следует писать.

Правильно: базиликовый (от базилик).