Лучше: ...села Казарка.
вы написали верно. См. «Письмовник».
Название праздника День города пишется с большой буквы, такова рекомендация словарей и справочников. По аналогии также уместно писать с большой буквы и День села (праздник).
Название Экажево без родового слова должно склоняться, так как оно образовано по русской модели с помощью суффикса -ов(о) и связано с именем Экаж и фамилией Экажев (ср. Иваново, Павлово). Однако топонимы на -ово в живой речи обнаруживают тенденцию к утрате склонения. Подробнее об этом можно прочитать в разделе «Азбучные истины».
Это название склоняется как нарицательное существительное жаворонки (за исключением формы винительного падежа).
Да, название склоняется.
Правильно: сельчане.
Склонять название Хаджалмахи не следует.