С прописной буквы Сеть пишется, если речь идет об Интернете. Если имеется в виду сотовая сеть, правильно написание строчными: абонент снова в сети.
Следует писать все строчными буквами.
См. ответ на вопрос № 282388.
Правильно: услуги сети, поиск сети.
Оба варианта верны.
Корректно: контроль за использованием сети.
Оба варианта верны.
В предложном падеже варианты в сети и в сети равноправны. В родительном, дательном падеже единственного числа и в именительном падеже множественного числа правильно: сети.